Les macros logiques de base

1 - Intérieur d'un objet

 [2 - Extérieur d'un objet] [3 - Position dans le plan ou sur la droite] [4 - Premiers exos de macros]

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Intérieur d'un segment

 

Soient A et B deux points et M un point sur objet de la droite (AB). M appartient au segment [AB] si et seulement si la perpendiculaire en M à la droite (AB) coupe le segment [AB]. Le point d'intersection est le point logique Int, placé sous M.

On notera que si M est dans le plan, la construction donne une macro "Intérieur bande".

Lancer la figure IntSeg.fig ou charger la macro IntSeg.mac (défini par deux points)

Intérieur d'un cercle

 

On se donne un cercle - de centre O - et un point M. M est à l'intérieur du cercle si et seulement si il appartient au diamètre passant par M. On applique donc la macro précédente Intérieur Segment au diamètre contenant M qui renvoie un point sous M quand M est à l'intérieur du cercle.

Il en résulte que cette macro ne renvoie pas de point quand M est en O.

Lancer la figure IntCerc.fig ou charger la macro IntCerc.mac

Intérieur d'un triangle

 

Un point M est à l'intérieur d'un triangle ABC si d'une part la droite (AM) coupe le segment [BC] - soit I cette intersection - et si M appartient au segment [AI]. On applique donc encore la macro Intérieur Segment à [AI]. La macro renvoie le point Int sous le point M comme dans les deux cas précédents.

Cette macro est utile quand, en géométrie dans l'espace, on veut astreindre une construction à un point placé sur une face d'un tétraèdre.


Lancer la figure IntTrian.fig ou charger la macro IntTrian.mac

 

Intérieur d'un parallélogramme

 

De la même manière, un point M est intérieur à un parallélogramme si et suelement si la parallèle à un côté passant par M coupe les deux autres côtés (en I et J) et si M appartient au segment [IJ]. On utilise donc, encore une fois, la macro Intérieur Segment pour construire un point sous M qui n'existe que si M est à l'intérieur du quadrilatère.

Comme la précédente, cette macro est utile en géométrie dans l'espace, pour astreindre une construction à un point placé sur une face d'un cube en perspective cavalière.


Lancer la figure IntParal.fig ou Charger la macro IntParal.mac

Intérieur d'un quadrilatère convexe

Même s'il s'agit d'un exercice de style, cette construction est intéressante dans la mesure où elle va être légèrement plus sophistiquée, puisque l'on va faire apparaître un ET là on aurait tendance à voir un OU. En effet, à priori, un point M est à l'intérieur d'un quadrilatère ABCD s'il est, par exemple, dans le triangle ABC ou dans le triangle ACD. Or faire un OU en géométrie logique n'est pas très simple (mais nous le ferons). Il est plus facile ici de construire deux triangles tels que M est à l'intérieur du quadrilatère s'il est simultanément à l'intérieur de deux triangles.

On notera que l'argument - donc la construction qui en découle - n'est correct que si le quadrilatère est convexe, ce qui peut aussi être utile à l'utilisation.

 

Tout d'abord - cela a déjà été utilisé dans les page d'introduction - le quadrilatère est convexe ssi l'intersection I de ses diagonales existe. On construit donc un premier point M' sous M qui n'existe que si I existe (symétrique de I par rapport au milieu de I et M).

On trace ensuite les parallèles à [BD] passant par A et C, puis les quatre demi-droites [AD), [AB), [CD) et [CB). Les deux premières coupe la droite passant par C en U et V, les deux autres la droite passant par A en S et R. Il est alors clair que M' est à l'intérieur du quadrilatère ABCD si et seulement si il est à la fois dans les triangles AUV et CRS.

On utilise donc, une première fois, la macro Intérieur Triangle pour construire sous M' un point M" qui n'existe que si M' est à l'intérieur de AUV. Puis on l'utilise une seconde fois pour construire le point Int, sous M" si M" est à l'intérieur de CRS.


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Intérieur d'une conique

On sait qu'un point M est intérieur à une conique si sa polaire associée ne coupe pas la conique. Pour faire la figure ci-dessous vous aurez besoin de :

Charger les macros Centre d'une conique, Polaire d'un point, Diamètre conjugué et Ping-Pong

 

Soit M un point. On construit la droite support du diamètre conjugué au diamètre parallèle à la polaire. Pour cela il faut la polaire de M et le centre de la conique. Cette droite coupe la polaire en P. On trace le segment [MP]. Alors M est à l'intérieur de la conique ssi la polaire est à l'extérieur, et donc ssi le segment [MP] coupe la conique en un point. Soit I ce point, il suffit alors de faire une existence conditionnelle (macro Ping Pong) de I sur M pour avoir sous M un point qui caractérise le fait d'être à l'intérieur de la conique.

 

La construction proposée, faisant uniquement appel aux directions conjuguées est bien correcte dans le cas de l'hyperbole.

Cette construction est néanmoins un peu lourde, probablement pas optimisée. Si vous trouvez une construction plus simple compatible ellipse et hyperbole ... pensez à contacter abraCAdaBRI qui sera heureux de remplacer celle-ci.

 

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