La théorie des parallèles (1829)

Lobachevsky commence là où s'était arrété Saccheri :

Par un point A passent trois types de droites : Les droites qui coupent (BC) ou sécantes, comme (AD) Les droites qui ont une perpendiculaire commune avec (BC), ou non-sécantes, comme (AE). Les droites asymptotes à (BC), ou parallèles, comme (AF) et (AG). L'angle Pi(x) = DAF = DAG est appelé angle de parallèlisme relativement à la distance x = AD.

Premières propriétés :

Les médiatrices d'un triangle sont soit : (illustrations dans le modèle du disque de Poincaré - et liens sur ce modèle)

concourantes	parallèles	perpendiculaires à une même droite
... et les points sont cocycliques	... et les points appartienent à un horocycle.	... et les points sont sur un lieu des points équidistants d'une droite.

Relations entre les angles A, B, C et les côtés a, b, c d'un triangle :

sin A tan Pi(a) = Sin B tan Pi(b)

cos A cos Pi(b) cos Pi(c) = 1 - [sin Pi(b) qin Pi(c)] / sin Pi(a)

cot A sin C sin Pi(b) + cos C = cos Pi(b) / cos Pi(a)

cos A + cos Bcos C = sin B sin C / sin Pi(a)

 

Remarques

1 - Sur une horosphère, surface obtenue dans la rotation d'un horocycle autour d'un de ses axes, si on fait jouer aux horocycles le rôle de droites, on obtient un modèle du plan euclidien, la trigonométrie des triangles sur ces surfaces étant la trigonométrie ordinaire.

2 - Si on suppose les côtés d'un triangle trés petits, les formules si dessus deviennent, en première approximation :

bsin A = a sin B ; a2 = b2 + c2 - 2bc cos A ; A + B + C = Pi

3 - Si on change a, b, c en ia, ib, ic dans les formules ci-dessus, on obtient les formules de trigonométrie sur une sphère de rayon k (ce qui avait d'ailleurs déjà été vu par Lambert) :

sin A sin b/k = sin B sin a/k

cos a/ k = cos b/k cos c/k + sin b/k sin c/k cos A

cot A sin C + cos C cos b/k = sin b/k cot a/k

cos A = cos a/k sin B sin C - cos B cos C

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