La géométrie hyperbolique

C'est une géométrie dans laquelle par un point, il passe plus d'une droite non sécante à une droite donnée. Plusieurs définitions précises sont possibles :

- Traditionnellement la géométrie hyperbolique est d'abord celle de "l'hypothèse de l'angle aigu", par exemple dans le cas du quadrilatère de Saccheri.. Un autre point de vue équivalent sur les angles : c'est une géométrie dans laquelle la somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits. Lambert a montré qu'alors il existe une distance absolue. Lobachevsky et Bolyai, indépendament, sont les premiers à avoir étudié cette géométrie. Bolyai est aussi le premier à avoir vu que la quadratrure du cercle était réalisable en géométrie hyperbolique.

- Dans l'approche que nous illustrons ici, la géométrie hyperbolique est caractérisée par deux propriétés :
a) l'existence de droites non connectable, c'est-à-dire sans point commun et sans perpendiculaires communes
b) la propriété hyperbolique : par un point il passe au plus deux droites non connectables à une droite donnée.

 

Les modèles classiques

Il existe de nombreux modèles euclidiens de plans hyperboliques (la pseudo-sphère a été le premier, produit par Beltrami en 1868. Puis sont venus le modèle plan dit de Klein-Beltrami, le modèle de Klein sur un hyperboloïde et les modèles de Poincaré. Nous nous intéressons ici aux modèles hyperbolique réalisables dans le plan euclidien. Il y a trois modèles usuels :

Le modèle de Klein-Beltrami : le plan hyperbolique est l'intérieur stricte d'un disque, la frontière est appelée l'horizon. Les droites sont les cordes du cercle. L'orthogonalité - et les symétries étant définies par l'homologie harmonique. C'est un modèle où les droites sont donc des segment de droites euclidiennes mais qui est non conforme : les angles ne sont pas lesangles euclidiens.
Le modèle du disque de Poincaré : le plan est toujours l'intérieur stricte d'un disque dont la frontière est appelée horizon. Les droites sont les arcs de cercles orthogonaux à l'intérieur du disque. L'orthogonalité est définie par les cercles orthogonaux et la symétrie par l'inversion. Le modèle est conforme : les angles hyperboliques sont les angles euclidiens des tangentes aux arcs définissant les droites hyperboliques.
Le modèle du demi-plan de Poincaré : c'est le cas précédent quand le centre du cercle est rejeté à l'infini. Le plan hyperbolique est le demi-plan complexe des nombres de partie imaginaire strictement positive. L'axe des abscisses réelles étant l'horizon. Les droites hyperboliques sont : les demi-droites euclidiennes orthogonales à l'horizon et les demi-cercles centrés sur l'horizon. Le modèle est conforme : l'orthogonalité est celle des cercles orthogonaux et la symétrie est l'inversion - ou la symétrie euclidienne dans le cas de droites otthogonales à l'horizon.

Nous nous interessons à ces trois modèles et aux passages de l'un à l'autre. Les deuxmodèles utilisant les disques ont l'avantage - pour les constructions - d'être bornés, ce qui peut simplifier certaines constructions : ainsi la bissectrice intérieure d'un angle est aussi la hauteur du triangle idéal associé car celui-ci est isocèle : deux angles à la base nuls. Ces eux modèlesont le défaut - pour lesconstructions dynamiques - d'avoir un point particulier : le centre du cercle. Le modèle du demi-plan n'est pas borné mais il n'y a aucun point particulier.

Illustration des droites dans chaque modèle

Le modèle du disque de Klein-Beltrami

Le demi-plan de Poincaré

Le modèle du disque de Poincaré

On peut déplacer A, B ou C pour visualiser les formes de triangles
Manipulation : Cabri suggère que l'intersection des médianes n'est pas qu'une propriété affine.