2.B - Extérieur d'un triangle

Un point M est à l'intérieur du triangle ABC ssi la somme des angles géométrique AMB, BMC et CMA est égale à 2*pi;. Le point est à l'extérieur ssi cette somme est strictement inférieure à 2*pi;. Reste à traduire cette propriété en terme de test logique. On construit cette somme sur un cercle. M sera à l'extérieur ssi le point d'arrivée Z est différent du point de départ M. Et on a notre test : M est à l'extérieur ssi M et Z sont dictincts , soit ssi la médiatrice de [MZ] existe, ce qui permet de renvoyer un point sur M par un symétrique.

La figure ExtTrian.fig finale ou la macro ExtTrian.mac

Le cercle de centre M passant par A coupe la droite (MC) en U et la droite (MB) en V. L'angle UMV est aussi l'angle géométrique BMC. Mais pour reporter des angles géométriques, il faut reporter des distances, c'est-à-dire utiliser des cercles, de nouveaux cercles, sinon l'angle sera orienté. Pour cela, on utilisera systématiquement l'item Compas pour construire de nouveaux cercles. On travaillera sur le cercle C₀, de centre A passant par M, et on reportera, à partir de M, les différents angles géométriques, ici dans le sens contraire au sens trigonométrique.

Ainsi, Par Compas, le cercle de centre M et de rayon [UA] - report de AMC - coupe C₀ en W. Le cercle de centre W et de rayon [UV] - report de CMB - coupe C₀ en X. Enfin, le cercle de centre X et de rayon [AV] - report de AMB - coupe C₀ en Z (l'autre intersection est nécessairement sur M).

Le point Ext est simplement le symétrique de Z par rapport à la médiatrice de [MZ]. On vérifiera que ce point existe effectivement toujours à l'extérieur du triangle, en passant dans les six régions délimitées par les trois droites supports du triangle, et qu'il n'existe pas à l'intérieur.