Théorème de Morley

2.B - Les étoiles d'angles 2Pi/3

[2.A. Les trissectrices d'un triangle - Notations] [2.C. Propriétés des étoiles]

[1 - Théorème initial] [3 - Les 27 triangles équilatéraux de Morley]
[4 - Autres triangles équilatéraux de la configuration ] [5 - Commentaires et figures finales] [6 - Compléments]
[7 - Historique et Références] [Retour "Grands Classiques"] [Retour "Géométrie Plane"]

La répartition des 108 points d'intersection des 18 trissectrices en 36 triangles équilatéraux disjoints (au sens de sommets distincts) est une conséquence immédiate des propriétés des "étoiles" étudiées ici. D'autres propriétés de ces triangles équilatéraux, intéressantes pour la configuration de Morley, seront abordées en 2.C.

La notion d'étoile reprise ici provient de l'ouvrage d'André Viricel. Les preuves ont été adaptées aux programmes actuellement en vigueur : on utilisera la cocyclicité et la puissance d'un point au lieu d'antiparallélisme et de faisceaux de cercles à points limites ... question d'époque.

Dans ces pages, on appellera "étoile" la donnée d'un point M et de trois droites d0, d1, d2 passant par M telles que les angles orientés de droites (d0, d1) et (d1, d2) fassent chacune un angle de Pi/3. M sera appelé le centre de l'étoile.

Nous nous proposons de montrer que les 9 points d'intersection de deux étoiles forment trois triangles équilatéraux ayant leux côtés paralléles et leurs centres alignés sur la médiatrice des centres des étoiles.

Etoile01.fig (qui correspond à l'illustration complète plus loin)

Une définition plus mathématique aurait consisté à prendre des angles de 2Pi/3 (partage de l'angle nul en trois) pour des raisons de symétrie. Cela ne fait qu'inverser les indices 1 et 2 entre eux. Nous avons retenu cette notation car les triangles indicés comme les droites qui les contiennent (des étoiles de centre A ou de centre B) sont naturellement directs alors qu'ils seraient indirects avec l'autre notation.

Les triangles sont équilatéraux

D'un manière générale, on notera M_ij l'intersection des droites a_i et b_j. On se propose de montrer que le triangle M₀₀M₁₁M₂₂ est équilatéral direct. On ferait de même pour les autres triangles.

Par des arguments de cocyclicité, le cercle circonscrit à M₀₀, M₁₁, et A contient B. DE même, le cercle circonscrit à M₀₀,Bet M₂₂ contient A. Cela signifie que ces 5 points sont cocycliques sur un cercle de centre O.

En angle de droites, on a :
(AM₂₂, AM₀₀) = (a2, a0) = Pi/3 [Pi].
Et donc en angle de vecteurs :
(OM₂₂, OM₀₀) = 2Pi/3 [2Pi].

De même pour les autres côtés, donc le triangle admet une rotation d'angle2Ľ/3 comme isométrie : c'est un triangle équilatéral (de plus direct).

On pourrait aussi raisonner directement sur les angles de droites : le triangle ayant ses trois angles de droites égaux à Pi/3, il est alors nécessairement équilatéral.

Ci-contre une illustration dans le cas où A et B sont du même côté de (M₀₀M₁₁) : les angles de vecteur ne sont pas les mêmes que dans l'illustration ci-dessus.

On notera aussi que la cocyclicité des 5 points montre aussi que le centre du triangle - centre de son cercle circonscrit - appartient à la médiatrice de [AB].

On montrerait exactement comme ci-dessus la même chose sur les deux autres triangles. On retiendra donc que les trois triangles

M₀₀M₁₁M₂₂
M₀₁M₁₂M₂₀
M₀₂M₁₀M₂₁

sont équilatéraux directs. Leurs centres sont alignés sur la médiatrice de [AB].

On remarquera qu'avec cette notation ils sont directs dans l'ordre croissant des indices de chaque droite (notées elles aussi dans le sens direct).

Montrons que les côtés sont parallèles. Il suffit de montrer par exemple que (M₀₀M₂₂) // (M₁₀M₂₁). Les autres cas se traiteraient de même.

La puissance M₂₀ par rapport au cercle circonscrit à M₀₀, A et B s'écrit - en mesure algébrique :

La puissance de M₂₀ par rapport au cercle circonscrit à A, B et M₀₂ s'écrit aussi :

On a donc soit le parallèlisme de (M₀₀M₂₂) et (M₁₀M₂₁).

Il résulte de cette propriété que les 108 points d'intersection des trissectrices d'un triangle réalisent 36 triangles équilatéraux, puisque les trissectrices forment, par trois (indices 1 - 3 - 5 puis 2 - 4 - 6), 6 étoiles engendrant 12 intersections de couples d'étoiles. C'est ce qui est illustré dans le chapitre 3 de ce dossier. Il est remarquable qu'il existe alors 18 autres triangles équilatéraux, c'est le théorème de Morley dans sa version élargie, ce qui fait l'objet du chapitre 4.

Toutefois, avant d'aller plus loin, pour déterminer les directions des côtés de ces triangles, il est utile de préciser quelques propriétés supplémentaires de ces triangles d'une manière générale, et dans le cas particulier des trissectrices d'un triangle.

[2.C. Propriétés des étoiles] [2.A. Les trissectrices d'un triangle - Notations]

[1 - Théorème initial] [2 - Les 6 trissectrices d'un angle - Notations] [3 - Les 27 triangles équilatéraux de Morley]
[4 - Autres triangles équilatéraux de la configuration ] [5 - Commentaires et figures finales] [6 - Compléments]
[7 - Historique et Références] [Retour "Grands Classiques"] [Retour "Géométrie Plane"]

[2.A. Les trissectrices d'un triangle - Notations] [2.C. Propriétés des étoiles]

La notion d'étoile reprise ici provient de l'ouvrage d'André Viricel. Les preuves ont été adaptées aux programmes actuellement en vigueur : on utilisera la cocyclicité et la puissance d'un point au lieu d'antiparallélisme et de faisceaux de cercles à points limites ... question d'époque.

Dans ces pages, on appellera "étoile" la donnée d'un point M et de trois droites d0, d1, d2 passant par M telles que les angles orientés de droites (d0, d1) et (d1, d2) fassent chacune un angle de Pi/3. M sera appelé le centre de l'étoile.

Nous nous proposons de montrer que les 9 points d'intersection de deux étoiles forment trois triangles équilatéraux ayant leux côtés paralléles et leurs centres alignés sur la médiatrice des centres des étoiles.

Etoile01.fig (qui correspond à l'illustration complète plus loin)

Les triangles sont équilatéraux

D'un manière générale, on notera Mij l'intersection des droites ai et bj. On se propose de montrer que le triangle M00M11M22 est équilatéral direct. On ferait de même pour les autres triangles.

Par des arguments de cocyclicité, le cercle circonscrit à M00, M11, et A contient B. DE même, le cercle circonscrit à M00, Bet M22 contient A. Cela signifie que ces 5 points sont cocycliques sur un cercle de centre O.

En angle de droites, on a : (AM22, AM00) = (a2, a0) = Pi/3 [Pi]. Et donc en angle de vecteurs : (OM22, OM00) = 2Pi/3 [2Pi].

De même pour les autres côtés, donc le triangle admet une rotation d'angle2Ľ/3 comme isométrie : c'est un triangle équilatéral (de plus direct).

On pourrait aussi raisonner directement sur les angles de droites : le triangle ayant ses trois angles de droites égaux à Pi/3, il est alors nécessairement équilatéral.

Ci-contre une illustration dans le cas où A et B sont du même côté de (M00M11) : les angles de vecteur ne sont pas les mêmes que dans l'illustration ci-dessus.

On notera aussi que la cocyclicité des 5 points montre aussi que le centre du triangle - centre de son cercle circonscrit - appartient à la médiatrice de [AB].

On montrerait exactement comme ci-dessus la même chose sur les deux autres triangles. On retiendra donc que les trois triangles

M00M11M22 M01M12M20 M02M10M21

sont équilatéraux directs. Leurs centres sont alignés sur la médiatrice de [AB].

On remarquera qu'avec cette notation ils sont directs dans l'ordre croissant des indices de chaque droite (notées elles aussi dans le sens direct).

Montrons que les côtés sont parallèles. Il suffit de montrer par exemple que (M00M22) // (M10M21). Les autres cas se traiteraient de même.

La puissance M20 par rapport au cercle circonscrit à M00, A et B s'écrit - en mesure algébrique :

La puissance de M20 par rapport au cercle circonscrit à A, B et M02 s'écrit aussi :

On a donc soit le parallèlisme de (M00M22) et (M10M21).

Toutefois, avant d'aller plus loin, pour déterminer les directions des côtés de ces triangles, il est utile de préciser quelques propriétés supplémentaires de ces triangles d'une manière générale, et dans le cas particulier des trissectrices d'un triangle.

[2.C. Propriétés des étoiles] [2.A. Les trissectrices d'un triangle - Notations]

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D'un manière générale, on notera M_ij l'intersection des droites a_i et b_j. On se propose de montrer que le triangle M₀₀M₁₁M₂₂ est équilatéral direct. On ferait de même pour les autres triangles.

Par des arguments de cocyclicité, le cercle circonscrit à M₀₀, M₁₁, et A contient B. DE même, le cercle circonscrit à M₀₀,Bet M₂₂ contient A. Cela signifie que ces 5 points sont cocycliques sur un cercle de centre O.

En angle de droites, on a :
(AM₂₂, AM₀₀) = (a2, a0) = Pi/3 [Pi].
Et donc en angle de vecteurs :
(OM₂₂, OM₀₀) = 2Pi/3 [2Pi].

Ci-contre une illustration dans le cas où A et B sont du même côté de (M₀₀M₁₁) : les angles de vecteur ne sont pas les mêmes que dans l'illustration ci-dessus.

M₀₀M₁₁M₂₂
M₀₁M₁₂M₂₀
M₀₂M₁₀M₂₁

Montrons que les côtés sont parallèles. Il suffit de montrer par exemple que (M₀₀M₂₂) // (M₁₀M₂₁). Les autres cas se traiteraient de même.

La puissance M₂₀ par rapport au cercle circonscrit à M₀₀, A et B s'écrit - en mesure algébrique :

La puissance de M₂₀ par rapport au cercle circonscrit à A, B et M₀₂ s'écrit aussi :

On a donc soit le parallèlisme de (M₀₀M₂₂) et (M₁₀M₂₁).