4 - Segments dans l'espace

  [Présentation de ce chapitre]
[1 - Introduction du cercle inscrit] [2 - Troncature du cube] [3 - Section d'un tétraèdre]
[5 - Tiroirs d'une commode] [6 - Cube opaque en rotation]

Pour réaliser la figure proposée comme "figure logique", vous aurez besoin les macros A, B, M dans cet ordre et Ping-Pong que vous pouvez charger depuis votre disque dur, ou directement depuis abraCAdaBRI.

Charger la macro A, B, M dans cet ordre, qui contient Ping-Pong.

Objectif de la page - figure de départ

Il s'agit de voir les possibilités de la géométrie logique pour transformer un exercice de l'environnement papier crayon en exercice de géométrie dynamique. Le thème retenu provient d'un exercice de 1*S (Istra - IREM de Strasbourg) sur des questions d'incidence dans m'espace. Dans sa version dynamique, l'exercice dynamique prend un sens nouveau par rapport à l'environnement papier crayon. On illustre ici que la construction de deux branches d'une figure est effectivement d'une autre nature qu'une simple discussion de cas.

On dispose de deux segments [AB] et [CD] qui modélisent deux baguettes, dont les extrémités A et C sont sur un premier plan, horizontal, et les deux autres B et D sur un second plan, vertical. Dans le dessin en perspective cavalière, les deux segments se croisent. La question dans l'environnement papier/crayon était : lequel est au dessus de l'autre. Dans l'environnement Cabri on peut proposer la construction : dessiner en rouge le segment au dessus et en bleu celui en dessous.

On se donnera quelques libertés d'action : les segments Cabri ne seront pas de taille fixe - autrement dit les points A, B, C et D seront des points de base - comme si, en classe, on illustrait notre construction avec des segments en ficelle en gardant dans la main 30 cm de plus pour changer les données de la situation : à sa façon, la manipulation directe a toujours existé en classe avant le passage sur informatique, heureusement ! Mais certainement pas dans l'environnement papier crayon ...   La figure SegEspD.fig de départ (les segments sont en bleu par défaut).

Recherche d'un critère

On construit les projections orthogonales des segments sur le sol (l'ombre des bâtons à midi). On les suppose sécantes en I. Ce point I étant sur l'intersection des projections orthogonales provient de deux points : J sur [AB] et K sur [CD]. Il est clair que le segment le plus haut est celui qui contient le point, J ou K, le plus éloigné de I. Sur le dessin ci-contre, [CD] est au dessus de [AB]. D'où l'idée d'une fin de construction conditionnée par la position des points I, J et K.

Le cas [CD] au dessus

 C'est la situation du dessin précédent. La macro A, B, M dans cet ordre, appliquée à I, J, K renvoie dans ce cas sous K un point K' qui rend compte que [CD] est au dessus de [AB].

On peut alors construire les segments [AK'] et [K'B], segments que l'on met en gras rouge (et on efface de point K'). On peut préférer consitionner sous A l'existence d'un point A' qui n'existe que si K' existe, pa la macro Ping-pong. On trace alors - en rouge gras - le segment [A'B].

Le cas [AB] au dessus

On fait de même, avec cette fois J au dessus de K. On est dans le cas où I, K et J sont dans cet ordre. La macro construit J' sous J, et on termine comme ci dessus, soit en traçant deux segments, soit en traçant un seul segment, avec un point C' sous C conditionné par l'existence de J'.

On peut aussi préférer La figure SegEspF.fig terminée.

Remarque

La perspective a son angle de fuite donné de fait par le segment [UV]. Dans la figure précédente proposée en téléchargement, les points U et V sont modifiables, et on vérifiera que pour un dessin donné des segments [AB] et [CD], selon la perspective, ces segments fixes représentent des positions différentes de segments puisqu'ils peuvent changer de couleur par une simple modification de U ou de V.

Complément à la figure

La capacité dynamique des figures Cabri invite à prendre en compte tous les aspects d'une figure, non abordés dans un environnement statique. Ce qui suit est donc une possibilité de compléments pour donner du sens à plus de déplacements des points. En formation, c'est l'occasion de travailler la réalisation de macros non exclusivement géométriques.

Dans la figure précédente, les points A, B, C et D ne sont pas conditionnés aux limites données par les murs, on pourrait le rajouter à partir d'une macro Intérieur parallélogramme. On peut aussi remarquer que la construction est néanmoins conditionnée par le fait que B et D sont bien sur le mur vertical de par l'existence des points B' et D' sur le segment [UV].

On peut ainsi envisager de transformer toute la figure en une macro pour l'appliquer à B et D sur le mur du fond : On transforme la figure précédente (dite "terminée") en macro, d'objets initiaux, les 4 points A, B, C et D, le segment [UV] et le segment vertical qui a été utilié pour les projections orthogonales. Comme objets finaux les segments rouges, tous les segments rouges : la version II de Cabri permet, dans les objets finaux, de modifier la figure en appuyant sur la touche de contrainte (touche Majuscule). En appliquant cette macros aux points quand B et D sont sur le mur du fond, on arrive à la figure ci-contre. La macro Segments sur mur pour l'appliquer.

On a bien traité d'un coup le cas des deux segments sur le mur du fond, mais pour les y mettre, on déplace les point B et D séquentiellement. On a donc aussi à traiter le cas où l'un de ces deux points est sur un mur et l'autre sur l'autre mur. On est ramené à faire une nouvelle construction, en prenant soin de traiter dans ce cas de B sur le mur du fond et D sur le mur de droite, les deux sous cas [AB] est au dessus et [CD] est au dessus. On peut aussi préférer : La figure SegEspS2.fig en l'état.

Il ne reste plus qu'à transformer la figure ci-dessus en macro pour l'appliquer au dernier cas ci-contre. Pour la macro, les objets initiaux seront encore les 4 points A, B, C, D, puis le segment du sol sur lequel se projette [AB], le segment du sol sur lequel se projette [CD] et le segment vertical qui a défini les projections. Les segments finaux sont tous les segments rouges, dans les deux cas, en utilisant le touche majuscule pour aller d'un cas à l'autre. La macro Segments sur 2 murs pour l'appliquer à la figure ci-dessus.

Le complément de construction est terminé. Il a été un peu long car il y avait plusieurs cas à traiter. On a pu aussi mesurer tout l'intérêt qu'il y a, dans la fabrication de macros, de pouvoir désigner des objets finaux qui existent exclusivement les uns des autres.

La figure SegEspS3.fig réellement finale.

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